Seit es Motorräder mit Seitenwagen gibt, hat diese Fahrzeuggattung, stärker als jede andere, bei seinen Eigentümern den Drang nach Individualisierung beflügelt.

Besonders nachdem das Gespann ab Werk aus den Katalogen der Motorradhersteller verschwunden ist, erregen die unterschiedlichsten Umbauten und Eigenkonstruktionen die Aufmerksamkeit der Betrachter.

Die spannende Frage ist dann immer: Hält's oder hält's nicht? Wir möchten hier am Beispiel einer Vorderradschwinge zeigen, wie diese Frage bereits vor der möglicherweise schmerzlichen Erfahrung geklärt werden kann.

Alles Gute kommt von oben - diese alte Weisheit stimmt beim Gespannfahren nicht. Denn der Grund, warum wir mit dem Gespann überhaupt fahren können, liegt, wie bei allen Straßenfahrzeugen, unten - in der Bodenhaftung. So müssen alle für die Navigation des Gespannes notwendigen Kräfte (Beschleunigungs-, Brems- und Seitenführungskräfte) über die handtellergroßen Reifenaufstandsflächen übertragen werden.
Dies bedeutet, dass alle Kräfte in den Bauteilen unseres Fahrzeugs durch die Kräfte in den Radaufstandspunkten bestimmt werden, denn mit diesen müssen sie nach den gesetzen der Physik ein Kräftegleichgewicht bilden.

Die Kräfte in den Radaufstandspunkten sind also die Schlüssel zur Berechnung der Bauteilbelastung und müssen als erstes ermittelt werden. Grundsätzlich werden durch den Reifen folgende Kräfte übertragen:

die Hoch- oder Normalkraft N, auch Radlast genannt die Längskraft L, (Bremskraft +L oder Antriebskraft -L) die Seitenkraft +S oder -S

Was beim stehenden Fahrzeug noch recht übersichtlich ist, wird im Fahrbetrieb doch noch etwas komplizierter. Denn durch die Federung von Aufbau und Reifen werden Radlastschwankungen DN hervorgerufen, die sich der statischen Radlast N überlagern, so dass sich eine resultierende Radlast N' ergibt:

Für die Größe der maximalen Radlast gibt es ausreichend Erfahrungen in Form von Stoßfaktoren K, die direkt abhängig von der Reifenfederkonstante sind. Damit ergibt sich N´ zu

Bei der Hochkraft liegt also eine schwellende Belastung um den Mittelwert der statischen Radlast N vor.

Etwas anders verhalt es sich bei der Seitenkraft S. Bei einer idealen ungestörten Geradeausfahrt wurden keine Seitenkräfte auftreten (bei Vernachlässigung der asymmetrischen Gespanngeometrie), im realen Fall fuhren aber Strasenunebenheiten immer zu Seitenkräften im Radaufstandspunkt, die mit dem Seitenformschlußfaktor aus Radlast ermittelt werden:

Da die Unebenheiten unregelmäßig und beidseitig der Radmitte auftreten, erzeugen sie auch bei Geradeausfahrt Kräfte in wechselnden Richtungen.

Es liegt bei der Seitenkraft also eine Wechselbelastung um die Nullage vor.

Als Längskräfte L sind die maximal vom Reifen übertragbaren Kräfte anzusehen, die sich aus dem Reibungsbeiwert und der momentanen Radlast N' ergeben,

wobei der Wert N' hier auch die dynamische Radlastverlagerung durch den Brems- oder Beschleunigungsvorgang beinhalten muss.

Zeit- und Dauerfestigkeit - die Lastfälle

Bevor wir nun endlich zur Ermittlung der Zahlenwerte für die Radaufstandskräfte kommen, müssen wir noch festlegen, für welche Fahrbedingungen die Kräfte ermittelt werden sollen. Dazu wird die Überlegung zugrunde gelegt, daß einerseits absolut keine Fahrsituation zu einem Gewaltbruch an einem Bauteil führen darf ("Zeitfestigkeit") andererseits auch bei normalem, nicht extremen Betrieb auch kein Dauerbruch durch Materialermüdung hervorgerufen werden sollte ("Dauerfestigkeit").

Die Sicherstellung der Bauteilfestigkeit muss also mehrere Lastfälle abdecken:

Dauerfestigkeit - Lastfall D
Es wird eine mittelgute Straße und eine Beladung mit 2 Personen und Gepäck angenommen. Die Belastungsgrenzen werden anhand von Dauerfestigkeitsdiagrammen ermittelt.

Zeitfestigkeit
Es werden verschiedene realistische Extremzustände bei zulässigem Gesamtgewicht berechnet. Die zulässigen Materialbelastungen orientieren sich an der Streckgrenze des Baumaterials.

Lastfall Z1 - Überfahren einer starken Bodenwelle (z.B. Bahnübergang)
Lastfall Z2 - Befahren einer Schlaglochstrecke
Lastfall Z3 - maximale Abbremsung
Lastfall Z4 - Durchfahren einer Rechtskurve Als Beispiel wollen wir ein Gespann mit folgenden Daten betrachten:

Leergewicht: 350 kg zul.
Gesamtgewicht: 700 kg
Radstand : lr=1500 mm
Spurweite: ls=1200 mm
Schwerpunktskoordinaten:
X= 800 mm (Rücklage von Mitte Vorderrad)
Y= 250 mm (Abstand zur Maschinenachse)
Z= 500 mm (Höhe über der Fahrbahn)

Für dieses Gespann sollen nun Radaufstandskräfte am Vorderrad ermittelt werden. Lastfall D - Dauerfestigkeit

Mit Hilfe der Schwerpunktskoordinaten wird zunächst die Radlast N des Vorderrades bestimmt, wobei die Fahrzeugmasse mit 560 kg (+2 Personen und Gepäck) angenommen und auch die dadurch entstandene Verschiebung des Schwerpunktes berücksichtigt wird. Hierbei ergibt sich eine Radlast von ca 30% des Fahrzeuggewichtes (auf die Herleitung soll hier verzichtet werden), d.h.

Für die Bewertung der Dauerfestigkeit ist nun nicht nur die maximale Kraft wichtig, sondern auch die minimale. Wir müssen also ermitteln, zwischen welchen Werten die Kräfte "schwingen".

Wir definieren deshalb maximalen (oberen) Kraftwert als

Zur Berechnung der Radlastschwankung nach Gleichung (2) und (3) wird aus entsprechender Fachliteratur (z.B. J. Reimpell, Fahrwerkstechnik) der Stoßfaktor k für den verwendeten Reifen (Größe und Luftdruck bestimmen die Reifenfederkonstante) herausgesucht. In unserem Beispiel wird K=1,48 ermittelt. Damit ergibt sich für den Radaufstandspunkt

Für die Belastung der Radführungsbauteile (z.B. Schwinge) muss von der Radlast allerdings noch das Gewicht der ungefederten Massen (Räder, Bremsen, etc.) abgezogen werden, da sie nicht über diese Bauteile abgestützt werden. Mit einem Anteil der ungefederten Massen von mu = 15 kg ergibt sich für die Schwinge

In der oben erwähnten Literatur findet man auch Angaben über Seitenformschlussfaktor ƒÊF in Abhängigkeit von der Radlast, der nach der Gleichung (4) zu den Seitenkräften in der Radaufstandsfläche fuhrt. Für unseren Fall entnehmen wir einen Wert von =0,35, was Seitenkräfte von

ergibt.

Lastfall Z1 - Bahnübergang
Wir rechnen nun mit dem zulässigen Gesamtgewicht von 700 kg und erhalten eine Radlast des Vorderrades entsprechend Gleichung (6) von

Da bei den Lastfallen Z1 bis Z4 der Gewaltbruch untersucht wird, muss nur die jeweilige Maximalkraft für die Hoch- bzw. Seitenkraft ermittelt werden. Natürlich gelten hier wesentlich höhere Beiwerte für k und ƒÊF, wobei davon ausgegangen werden darf, dass die Maximalwerte von Hoch- und Seitenkraft nie gleichzeitig auftreten. Beim Überfahren des Bahnübergangs setzen wir deshalb den Stoßfaktor k mit 2,8 an, wahrend ƒÊF den Wert von 0,35 behalt. Es ergeben sich damit nach Gleichung (9):

Lastfall Z2 - Schlaglochstrecke
Bei der Schlaglochstrecke werden nun die Seitenkräfte maximal angesetzt, während die Hochkräfte als Durchschnittswerte betrachtet werden dürfen. Unsere Beiwerte betragen deshalb:

Lastfall Z3 - maximale Abbremsung
Der Lastfall "maximale Abbremsung" wirkt sich besonders am Vorderrad aus, da durch die dynamische Radlastverlagerung die Hochkraft deutlich ansteigt und darüber hinaus die Bremskraft als Längskraft L auf das Vorderrad wirkt. Eine überschlägige Berechnung ergibt eine Radlast von 5600 N bei einer Abbremsung von 9 m/s2, die mit modernen Reifen durchaus erreicht werden können. Unter Berücksichtigung der "Durchschnittsbeiwerte" K=1,48 und =0,35 erhalten wir:

Aus dem Bericht über die Fahrdynamik wissen wir, dass bei der Kurvenfahrt zwei unterschiedliche Grenzzustände auftreten können. Je nach Schwerpunktlage und Reibwert kann entweder das Kippen oder das Rutschen der Kurvenfahrt ein Ende bereiten. Wir wollen uns hier auf einen Fall beschränken und beispielhaft den Grenzfall Kippen beleuchten. Die Kippgrenze ist genau dann erreicht, wenn die Radlast des Seitenrades den Wert Null erreicht, das heißt, das ganze Gewicht des voll beladenen Gespanns lastet auf den Rädern der Zugmaschine.

Der Anteil des Vorderrades ergibt sich dann allein aus der Lage des Schwerpunktes in Fahrzeuglängsrichtung, wobei der Einfluss von Besatzung und Gepäck mit zu berücksichtigen ist. Die Radlast N ergibt sich zu

Die anzusetzende Seitenkraft setzt sich für diesen Lastfall aus der Seitenkraft durch die Kurvenfahrt SK und der bereits bekannte Kraft S durch die Straßenunebenheiten zusammen. SK erhält man im Grenzfall "Kippen" wieder über die Schwerpunktskoordinaten, diesmal in Hoch- und Querrichtung. Der Einfluß der Beladung wird mit Y'=Y+ 100 mm und Z'=Z+ 200 mm eingerechnet. (siehe Bild 3)

Bernhard Götz Verlag (c) 1988-2010

Der erste Schritt ist also getan. Wir kennen die eingeleiteten Kräfte für die wichtigsten Fahrzustände. Jetzt wollen wir uns ausführlich mit den daraus resultierenden Bauteilbelastungen befassen.

Gedankliches Zersägen - von inneren und äußeren Kräften

Was sich in der Radaufstandsfläche abspielt, haben wir uns im ersten Teil ausführlich angesehen. Doch wie geht es jetzt weiter, welche Belastungen werden in der Schwinge hervorgerufen? Unserem Beispielgespann bauen wir gedanklich eine Einarmschwinge ein, denn die eignet sich am besten zur Darstellung aller Auswirkungen. Auf der folgenden vereinfachten Skizze werden die einzelnen Kräfte dargestellt:

Die Normalkraft N wirkt, vermindert um das Gewicht der ungefederten Massen, über die Radachse als N'' auf die Schwinge. Als Reaktion darauf wirken die Abstützkraft des Federbeins FF und die Lagerkraft FL der Schwingenlagerung. Während FF nur in Richtung des Federbeins wirken kann, können sich in der Lagerstelle Reaktionskräfte in horizontaler und vertikaler Richtung entsprechend den Gleichgewichtsbedingungen frei ausbilden. Zur Vereinfachung werden wir im weiteren die Federbeinkraft als senkrecht auf der Schwinge stehend annehmen, und die horizontale Komponente durch das Federbein vernachlässigen.

Die Kräfte allein würden unsere Schwinge noch nicht übermäßig beanspruchen, was ihr richtig zusetzt, sind die Auswirkungen in Form von Biege- und Verdrehmomenten (Torsionsmomente).
So ruft die Normalkraft N'' nicht nur ein Biegemoment durch das Zusammenwirken mit der Feder- und Lagerkraft hervor, sondern mit dem Hebelarm "a" auch ein Torsionsmoment, das die Schwinge verdrehen will. Je nach Richtung der Seitenkraft S wird dieses Moment durch ein zusätzliches Torsionsmoment aus der Seitenkraft mit dem Hebelarm des dynamischen Radhalbmessers rdyn verstärkt oder abgeschwächt.

Aber auch die Seitenkraft hat eine zweite Auswirkung, sie bewirkt ein Biegemoment um die Hochachse (Bild "von oben"), das die Schwinge zusätzlich belastet.

Um die Summe der Bauteilbelastungen ermitteln zu können, sehen wir uns nun die Verteilung der inneren Kräfte und Momente über die Schwinge an.

Vertikale Querkraft QV:
Die Verteilung der inneren vertikalen Querkraft ergibt sich aus den Hebelverhältnissen der Schwinge und der eingeleiteten Kraft N''. Über die Hebelverhältnisse ergibt sich die Größe der Abstützkräfte FF und FL.

(14) FF=N''*lS/(lS-lF) und (15) FF=FF-N''

Damit ist die innere vertikale Querkraft im Abschnitt 1 (Achse bis Federbein) gleich der eingeleiteten Kraft N''.
Im Einleitpunkt der Federbeinstützkraft reduziert sie sich um den Betrag von FF und wird damit im Abschnitt 2 zu QV=N''-FF=-FL und wechselt ihr Vorzeichen.

Horizontale Querkraft QH:
Die innere horizontale Querkraft wird bis zur Lagerstelle nicht weiter abgestützt und hat damit über die gesamte Schwingenlänge den Betrag der eingeleiteten Seitenkraft S. Da S aber eine Kraft mit wechselnder Richtung ist, hat auch die horizontale Querkraft wechselnde Vorzeichen. +/–QH=+/–S.

Biegemoment um die Querachse (Y):
Das innere Biegemoment erhält man durch gedankliches Absägen eines Schwingenabschnittes ("Freischneiden"). Die von außen angreifende Kraft N'' für das abgesägte Bauteil muss in einem Gleichgewichtszustand mit den inneren Kraftwirkungen stehen. Man sieht sofort, dass die Querkraft allein dies nicht leisten kann, es muss ein inneres Biegemoment MB dem Kräftepaar aus N'' und QV entgegenwirken mit dem Betrag N''*X, wobei X hier der Abstand unseres gedanklichen Sägeschnitts von der Vorderachse ist. Man kommt zu dem in Bild 2 gezeigten Momentenverlauf und erkennt, dass das höchste Biegemoment an der Federbeinaufnahme mit dem Wert MBY=N''*lF vorgefunden wird.

Biegemoment um die Hochachse (Z):
Mit dem gleichen Gedankenspiel ermitteln wir das Biegemoment um die Z-Achse, das durch die Seitenkraft hervorgerufen wird. Dieses Moment ist an der Lagerstelle maximal mit dem Betrag MBZ=S*lS. Im Unterschied zum Moment um Y handelt es sich hier um ein Wechselmoment um den Betrag 0, da ja auch die Seitenkraft eine Wechselkraft ist.

Torsionsmoment N''*a:
Der Versatz des Schwingenholms zur Radmitte um den Betrag "a" bewirkt in der Schwinge ein Torsionsmoment der Größe MTN=N''*a, welches über die Länge des Schwingenholmes konstant ist. Es hat die selbe Wirkung wie das

Torsionsmoment S*rdyn,
das über die Seitenkraft mit dem dynamischen Reifenradius auf die Schwinge wirkt. Aber genau wie die Seitenkraft selbst ist es eine Wechselgröße um die Nullage und wirkt deshalb je nach Vorzeichen verstärkend oder abschwächend auf das Torsionsmoment MTN.

Bricht’s oder bricht’s nicht?

Nun haben wir fast alle Informationen, um die Bauteilspannungen berechnen zu können. Als sinnvolle Annahme für die Abmessungen des Schwingenarms setzen wir folgende Werte an:

Damit hat der Schwingenarm als Widerstandsmomente gegen Biegung bzw. Torsion:

Die Dauerfestigkeit

Für die Sicherstellung der Dauerfestigkeit ist nicht allein der Maximalwert der Belastung ausschlaggebend, sondern auch ganz entscheidend, in welchem Bereich und um welchen Mittelwert sie schwankt.

Es muss also der maximale und der minimale Wert ermittelt werden, wobei bei einer zusammengesetzten Beanspruchung wie hier zu berücksichtigen ist, welche Beanspruchungen sich addieren und welche sich abschwächen.

Aus dem Bild 2.1 kann man erkennen, dass die Biegemomente um Y und um Z an unterschiedlichen Stellen ihre Maxima haben. Diese Stellen (Federbeinaufnahme und Lagerstelle) werden als gefährdete Querschnitte identifiziert und jeweils für die Berechnungen betrachtet.

Die einwirkenden Kräfte wurden in Teil 1 ermittelt und sind:

1. Federbeinaufnahme

Als innere Kräfte wirken hier die vertikalen und horizontalen Querkräfte mit QV=N'' und QH=S, wobei N'' zwischen 706 N und 2290 N schwankt und S zwischen -578 N und +578 N.
Damit darf als obere Schubspannung die Summe der Maximalwerte und als untere die Summe der Minimalwerte angesehen werden.
Aus den Momenten ergeben sich entsprechend folgende Spannungen:

Die Spannungen aus der reinen Kraftwirkung sind so klein im Vergleich zu denen durch die Momente, dass man sie bei der weiteren Betrachtung vernachlässigen darf.

Die verbleibenden Spannungen werden nach der Gestaltänderungshypothese zu einer Vergleichsspannung zusammengefasst:

wobei das Anstrengungsverhältnis ƒ¿ vom Material abhängig ist und hier den Wert 1 erhält.
Wir erhalten also die Vergleichsspannungen

Um zu entscheiden, ob die ermittelten Vergleichsspannungen der Schwinge zugemutet werden können, sehen wir uns das Dauerfestigkeitsschaubild des verwendeten Materials an (als DIN verfügbar).

Beispielhaftes Dauerfestigkeitsdiagramm

Bernhard Götz Verlag (c) 1988-2010

Mit Hilfe dieses Diagrammes, welches jeweils für das entsprechende Material ausgesucht werden muss, werden die zulässigen Spannungen wie folgt ermittelt:

Wir suchen uns zunächst die mittlere Spannung ƒÐm auf der waagerechten Achse und loten zu der Winkelhalbierenden hinauf. Senkrecht über und unter diesem Punkt treffen wir auf die Begrenzungslinien (dick gezeichnet) und lesen hier die maximale und minimale Spannung für die wechselnde Belastung um ƒÐm ab. Die ermittelten Werte sind jedoch reine Materialgrößen, die nur bei ideal geformten Stäben mit polierter Oberflache und bestimmten Abmessungen erreichbar sind.

Für die Übertragbarkeit auf reale Bauteile müssen noch verschiedene Bewertungsfaktoren ins Spiel gebracht werden, die die Unterschiede unserer realen Schwinge zu der idealen Normprobe berücksichtigen.
In einzelnen sind dies:

Die bauteilbezogenen zulässigen Materialspannungen ƒÐzul erhält nun durch Anwendung der Formel

für die obere zulässige Spannung,
bei Einsetzen von ƒÐmin entsprechend für die untere.

Aus unserem Beispieldiagramm entnehmen wir ƒÐmax=330 N/mm2 und ƒÐmin=-275 N/mm2. Mit den oben aufgeführten Beiwerten ergibt sich ein zulässiger Spannungsbereich von -77 N/mm2 bis +92,4 N/mm2. Da sich unsere ermittelten Vergleichsspannung deutlich innerhalb dieser Spanne befinden, ist an der Federbeinlagerstelle kein Dauerbruch zu befürchten.

2. Lagerstelle

Der zweite gefährdete Querschnitt ist die Lagerstelle, da hier das Moment durch die Seitenkraft ihr Maximum hat. Die Torsionsmomente sind gleich groß wie an der Federbeinaufnahme, das Biegemoment um Y fällt auf den Wert 0 (s. Bild 2).
Wie im Fall 1. können die reinen Kraftauswirkungen vernachlässigt werden, wir berechnen nur die Spannungen aufgrund der Momente.

Auch hier kann man mit dem Dauerfestigkeitsdiadramm schnell feststellen, dass eine Dauerbruchgefährdung nicht vorliegt.

Die Zeitfestigkeit
Zur Berechnung der Zeitfestigkeit wird ausschließlich die Streckgrenze des verwendeten Materials verwendet, in unserem Beispiel 450 N/mm2. Auch hier wird mittels der Gleichung (22) die zulässige Spannung über die Beiwerte ermittelt. In unserem Fall ergibt sich ein Wert von ƒÐzul= 126 N/mm2.

Lastfall Z1 (Bahnübergang)/ Federbeinaufnahme

Z1/Lagerstelle:
Als Biegespannung an der Lagerstelle erhalten wir

An beiden gefährdeten Querschnitten sind die Vergleichsspannungen also kleiner als die zulässige Spannung, es besteht damit keine Bruchgefahr.

Lastfälle Z2 - Schlaglochstrecke und Z3 - maximale Abbremsung

Sowohl die Normal- als auch die Seitenkraft sind im Lastfall Z3 höher als bei Z2, sodass die Schlaglochstrecke nicht gesondert betrachtet werden muss. Eine Besonderheit stellt in diesem Fall (Z3) allerdings die Längskraft L dar, die über die Radachse auf die Schwinge wirkt und hier Druckspannungen verursacht.
Nach Gleichung (17) berechnen sich diese Druckspannungen zu

Die ermittelte Druckspannung darf aufgrund des geringen Wertes vernachlässigt werden. Anders allerdings das durch die Längskraft mit dem Hebelarm a=130 mm hervorgerufene Biegemoment um die Hochachse, das über die Länge des Schwingenarms einen konstanten Verlauf hat. Das Moment führt zu Biegespannungen von

Einen weiteren Einfluss stellt die Abstützung der Bremskraft durch die Anbindung des Bremssattels bzw. der Ankerplatte dar. Je nach der Art der Befestigung können die Kräfte in den Schwingenarm oder in den gefederten Teil der Schwinge eingeleitet werden. Um die Rechnung nicht zu kompliziert zu machen, gehen wir davon aus, dass der Schwingenarm diese Last nicht aufgebürdet bekommt.

Z3/Federbeinaufnahme
Nach Gleichung (20) ist die Schubspannung 90,5 N/mm2, die Biegespannung aufgrund der Normalkraft ist 43,2 N/mm2. Die beiden Biegespannungen und L mussen nun aber nicht addiert werden, da die Biegemomente um unterschiedliche Achsen wirken. Dort wo das eine Moment die maximalen Spannungen hervorruft, befindet sich beim anderen die neutrale Faser (=0) und umgekehrt. Wir mussen also nur die grosere der beiden Spannungen mit der Torsionsspannung zu der Vergleichsspannung nach (21) verknupfen. Wir erhalten eine Vergleichsspannung von

=163 N/mm2.

Z3/Lagerstelle
In der Lagerstelle wirken nun dummerweise die auftretenden Momente um die selbe Achse und addieren sich. Wir erhalten damit eine Biegespannung von

Damit erhalten wir eine Vergleichsspannung von

V=226 N/mm2.

Sofort stellen wir fest, dass an beiden gefahrdeten Querschnitten die zulassigen Spannungen uberschritten werden. An diesem Punkt musste die Bauteildimensionierung noch einmal uberdacht werden. Denkbar sind eine generelle Erhohung des Querschnitts oder auch ortliche Verstarkungen an den gefahrdeten Stellen.

Lastfall Z4 - die Rechtskurve
Nach Gleichung (18) erhalten wir eine Torsionsspannung von =69 N/mm2 und damit einen geringeren Wert als im Lastfall Z3. Da auch die Normalkrafte bei Z4 niedriger liegen, kann die Belastung bei der Rechtskurve nicht hoher sein als bei der Vollbremsung.

Für unser Beispielgespann hat sich also die Rechtskurve bei voller Beladung als der kritische Belastungszustand herausgestellt. Für andere Geometrieverhaltnisse muss das aber nicht ubertragbar sein, eine Berechnung der anderen Lastfalle lässt sich also dadurch nicht vermeiden.

Aber unser Beispiel hat gezeigt, dass eine Auslegung ohne vorherige Berechnung in diesem Fall bei der ersten Urlaubsreise zu einem ernsten Problem gefuhrt hatte und eine Auslegung mit dem dicken Daumen bei hochbelasteten Bauteilen nicht immer zielfuhrend ist.

Michel Hölscher